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Estereorradián



El estereorradián (símbolo: sr) es la unidad derivada del SI que mide ángulos sólidos. Es el equivalente tridimensional del radián.[1]

Una representación gráfica de un estereorradián
Animación de un estereorradián

Índice


Definición

El estereorradián se define haciendo referencia a una esfera de radio \({\displaystyle r}\). Si el área de una porción de esta esfera es \({\displaystyle r^{2}}\), un estereorradián es el ángulo sólido comprendido entre esta porción y el centro de la esfera.

Explicación de la definición

El ángulo sólido en estereorradianes es

\({\displaystyle \Omega ={\frac {S}{r^{2}}}\,}\),

donde \({\displaystyle S\,}\) es la superficie cubierta por el objeto en una esfera imaginaria de radio \({\displaystyle r\,}\), cuyo centro coincide con el vértice del ángulo.

Por tanto, un estereorradián es el ángulo que cubre una superficie \({\displaystyle r^{2}\,}\) a una distancia \({\displaystyle r\,}\) del vértice,

\({\displaystyle \ 1sr={\frac {r^{2}}{r^{2}}}\,}\).
Analogía con el radián

En dos dimensiones, el ángulo en radianes, está relacionado con la longitud de arco, y es:

\({\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,}\),

siendo \({\displaystyle s}\) la longitud de arco, y \({\displaystyle r}\) el radio del círculo.


Ángulo de un casquete esférico

El cono (1) y el casquete esférico (2) dentro de la esfera

Si el área \({\displaystyle A\,}\) es igual a \({\displaystyle r^{2}\,}\) y está dada por el área de un casquete esférico (\({\displaystyle A=2\pi rh\,}\)), entonces se cumple que

\({\displaystyle {\frac {h}{r}}={\frac {1}{2\pi }}}\).

Por lo tanto, el ángulo sólido descrito por el cono que corresponde al ángulo (plano, vea la figura) es igual a:

\({\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\,\mathrm {sr} }\).

Otras propiedades

Sección de cono (1) y casquete esférico (2) que definen un ángulo sólido de un estereoradián en una esfera

Si A = r2, corresponde al área de un casquete esférico (A = 2π r h) (donde h es la "altura" del casquete) y vale la relación hr = 12π. Por lo tanto, en este caso, un estereorradián corresponde al ángulo plano (o sea en radián) de la sección transversal de un cono simple que comprende el ángulo plano 2θ, con θ correspondiente a :

\({\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right)\approx 0.572\,{\text{ rad,}}{\text{ or }}32.77^{\circ }.\end{aligned}}}\)

Este ángulo corresponde al al ángulo de apertura plano de 2θ ≈ 1.144 rad or 65.54°.

Un estereorradián también es igual al área esférica de un polígonoque tiene un exceso de ángulo de 1 radian, para 14π de una esfera completa, o de [180°π]2
≈ 3282.80635 grados cuadrados.

El ángulo sólido de un cono suya sección transversal define un ángulo 2θ es:

\({\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\,{\text{sr}}=4\pi \sin ^{2}(\theta /2)\,{\text{sr}}}\).

Múltiples en el Sistema Internacional

Miliestereorradianes (msr) y microestereoradianes (μsr) se utilizan en forma ocasional para describit los haces de luz y de partículas.[2][3]​ Otros múltiplos rara vez se utilizan.


Referencias

  1. "Steradian", McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, fifth edition, Sybil P. Parker, editor in chief. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5.
  2. Stephen M. Shafroth, James Christopher Austin, Accelerator-based Atomic Physics: Techniques and Applications, 1997, ISBN 1563964848 ISBN 978-1563964848, p. 333
  3. R. Bracewell, Govind Swarup, "The Stanford microwave spectroheliograph antenna, a microsteradian pencil beam interferometer" IRE Transactions on Antennas and Propagation 9:1:22-30 (1961)

Véase también





Fuente


Información a partir de: 17.12.2021 04:51:20 CET

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