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Unidades de Planck


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Las unidades de Planck o unidades naturales son un sistema de unidades propuesto por primera vez en 1899 por Max Planck. El sistema mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura. El sistema se define haciendo que las cinco constantes físicas universales de la tabla tomen el valor 1 cuando se expresen ecuaciones y cálculos en dicho sistema.

Tabla 1: Constantes físicas fundamentales
Constante Símbolo Dimensiones
Velocidad de la luz en el vacío \({\displaystyle {c}\ }\) L / T
Constante de gravitación universal \({\displaystyle {G}\ }\) L3/T2M
Constante reducida de Planck \({\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}\) donde \({\displaystyle {h}\ }\) es la constante de Planck ML2/T
Constante de fuerza de Coulomb \({\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}\) donde \({\displaystyle {\epsilon _{0}}\ }\) es la permitividad en el vacío M L3/ Q2 T2
Constante de Boltzmann \({\displaystyle {k}\ }\) M L2/T2K

El uso de este sistema de unidades trae consigo varias ventajas. La primera y más obvia es que simplifica mucho la estructura de las ecuaciones físicas porque elimina las constantes de proporcionalidad y hace que los resultados de las ecuaciones no dependan del valor de las constantes.

Por otra parte, se pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. Por ejemplo, dos protones se rechazan porque la repulsión electromagnética es mucho más fuerte que la atracción gravitatoria entre ellos. Esto se puede comprobar al ver que los protones tienen una carga aproximadamente igual a una unidad natural de carga, pero su masa es mucho menor que la unidad natural de masa.

También permite evitar bastantes problemas de redondeo, sobre todo en computación. Sin embargo, tienen el inconveniente de que al usarlas es más difícil percatarse de los errores en el análisis dimensional. Son populares en el área de investigación de la relatividad general y la gravedad cuántica.

Las unidades Planck suelen llamarse de forma jocosa por los físicos como las "unidades de Dios", porque elimina cualquier arbitrariedad antropocéntrica del sistema de unidades.

Índice


Expresión de leyes físicas en unidades Planck

\({\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}\)
se convierte en
\({\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}\) utilizando unidades Planck.
\({\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}\)
se convierte en
\({\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}\)


  • La energía de una partícula o fotón con frecuencia radial \({\displaystyle {\omega }\ }\) en su función de onda
\({\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }\)
se convierte en
\({\displaystyle {E=\omega }\ }\)
\({\displaystyle {E=mc^{2}}\ }\)
se convierte en
\({\displaystyle {E=m}\ }\)
(por ejemplo, un cuerpo con una masa de 5000 unidades Planck de masa tiene una energía intrínseca de 5000 unidades Planck de energía) y su forma completa
\({\displaystyle {E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}\ }\)
se convierte en
\({\displaystyle {E^{2}=m^{2}+p^{2}}\ }\)


\({\displaystyle {G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }\)
se convierte en
\({\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }\)
  • La unidad de temperatura se define para que el promedio de energía térmica cinética por partícula por grado de libertad de movimiento
\({\displaystyle {E={\frac {1}{2}}kT}\ }\)
se convierte en
\({\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ }\)
\({\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\)
se convierte en
\({\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\) .
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }\)
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}\)
\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}\)
\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}\)
se convierten respectivamente en
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }\)
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}\)
\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}\)
\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}\)
utilizando las unidades Planck. (Los factores \({\displaystyle 4\pi \ }\) se pueden eliminar si \({\displaystyle \epsilon _{0}\ }\) se hubiera normalizado, en vez de la constante de fuerza de Coulomb \({\displaystyle 1/(4\pi \epsilon _{0})\ }\).)

Unidades de Planck básicas

Al dar valor 1 a las cinco constantes fundamentales, las unidades de tiempo, longitud, masa, carga y temperatura se definen así:

Tabla 2: Unidades de Planck básicas
Nombre Dimensión Expresión Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Longitud de Planck Longitud (L) \({\displaystyle l_{P}=c\ t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}\) 1.616 252(81) × 10−35 m [[1]]
Masa de Planck Masa (M) \({\displaystyle m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}\) 2.176 44(11) × 10−8 kg (21 \({\displaystyle \mu }\)g) [[2]]
Tiempo de Planck Tiempo (T) \({\displaystyle t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}\) 5.391 24(27) × 10−44 s [[3]]
Carga de Planck Carga eléctrica (Q) \({\displaystyle q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}}\) 1.875 545 870(47) × 10−18 C
Temperatura de Planck Temperatura (ML2T-2/k) \({\displaystyle T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}}\) 1.416 785(71) × 1032 K [[4]]

Unidades de Planck derivadas

Como en otros sistemas de unidades, las magnitudes físicas derivadas se pueden definir basándose en las unidades de Planck.

Nombre Dimensión Expresión Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Energía de Planck Energía (ML2/T2) \({\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\) 1.9561 × 109 J
Fuerza de Planck Fuerza (ML/T2) \({\displaystyle F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}}\) 1.21027 × 1044 N
Potencia de Planck Potencia (ML2/T3) \({\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}}\) 3.62831 × 1052 W
Densidad de Planck Densidad (M/L3) \({\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}\) 5.15500 × 1096 kg/m³
Velocidad angular de Planck Velocidad angular (1/T) \({\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}\) 1.85487 × 1043 rad/s
Presión de Planck Presión (M/LT2) \({\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}\) 4.63309 × 10113 Pa
Intensidad eléctrica de Planck Intensidad eléctrica (Q/T) \({\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}}\) 3.4789 × 1025 A
Tensión eléctrica de Planck Tensión eléctrica (ML2/T2Q) \({\displaystyle V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}}\) 1.04295 × 1027 V
Resistencia eléctrica de Planck Resistencia (ML2/T Q2) \({\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}\) 2.99792458 × 10¹ Ω

Véase también


Referencias






Fuente


Información a partir de: 17.12.2021 10:50:56 CET

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